TRANSFORMASI LAPLACE INVERSI

Information about TRANSFORMASI LAPLACE INVERSI

Published on December 8, 2009

Author: abimayu

Source: authorstream.com

Content

TRANSFORMASI LAPLACE INVERSI : TRANSFORMASI LAPLACE INVERSI Eko Sugiarto (20082012031) Pps UNSRI TUJUAN PEMBELAJARAN : TUJUAN PEMBELAJARAN TUJUAN UMUM Mahasiswa dapat memahami transformasi Laplace dan mampu menerapkannya. TUJUAN KHUSUS Mahasiswa dapat menentukan invers dari Transformasi Laplace. Agenda : Agenda DEFINISI PROSEDUR CARA PENYELESAIAN CONTOH SOAL + PENYELESAIAN LATIHAN SOAL DEFINISI : DEFINISI Suatu tranformasi inversi dari F(s), dinyatakan dengan ℒ { f(s) } adalah suatu fungsi lain f(x) yang memiliki properti ℒ { f(x)} = F (s). Ini mengasumsikan bahwa variabel independen yang diinginkan adalah x. Jika variabel independen yang diinginkan adalah t, maka tranformasi laplace inversi dari F(s) adalah f(t) dimana ℒ { f(t) } = F (s). PROSEDUR : PROSEDUR Teknik yang paling sederhana untuk mengidentifikasi transformasi laplace inversi adalah dengan mengenalinya, apakah melalui hafalan ataukah dari tabel. Jika F(s) memiliki bentuk yang tidak dapat dikenali, maka terkadang bentuknya dapat ditransformasikan kedalam bentuk yang diinginkan melalui manupulasi aljabar. Dari tabel ternyata hampir seluruh transformasi laplace yang ditampilkan memiliki bentuk hasil bagi. Prosedur yang direkomendasikan adalah dengan pertama-tama mengkonversikan penyebutnya kedalam salah satu bentuk yang ditampilkan dalam tabel dan kemudian melakukan hal yang sama terhadap pembilangnya. CARA PENYELESAIAN : CARA PENYELESAIAN MEMANIPULASI PENYEBUT Dengan metode penyelesaian kuadrat Dengan metode pecahan parsial MEMANIPULASI PEMBILANG METODE PENYELESAIAN KUADRAT : METODE PENYELESAIAN KUADRAT Metode penyelesaian kuadrat mengkorversikan suatu polinomial kuadrat menjadi penjumlahan nilai-nilai kuadrat, suatu bentuk yang dimiliki oleh banyak penyebut dalam tabel. Lebih tepatnya, untuk persamaan kuadrat as + bs + c, dimana a, b, dan c melambangkan konstanta-konstanta. as + bs + c = a [ s + (b/a)s ] + c = a [ s + (b/a)s + (b/2a) ] + [ c – b /4a ] = a [ s + (b/a) ] + [ c – b /4a ] = a ( s + k )+ h dimana k = b/2a dan h = √ c – (b /4a) CONTOH SOAL + PENYELESAIAN : CONTOH SOAL + PENYELESAIAN Dengan menggunakan metode penyelesaian kuadrat tentukanlah ℒ s + 2 s2 - 3s + 4 Penyelesaian : s - 3s + 4 = (s - 3s + 9/4 ) + ( 4 – 9/4 ) = ( s – 3/2 ) + [(√7)/2] , sehingga s + 2 = s + 2 s - 3s + 4 = ( s – 3/2 ) + [(√7)/2] sekarang kita tuliskan pembilangnya sebagai : s + 2 = s – 3/2 + 7/2 = ( s – 3/2 ) + √7[(√7)/2] sehingga s + 2 = s – 3/2 + √7 [(√7)/2] s - 3s + 4 (s – 3/2) + [(√7)/2] (s-3/2) + [(√7)/2] maka, ℒ s + 2 = ℒ s – 3/2 + √7ℒ [(√7)/2] s - 3s + 4 (s-3/2) + [(√7)/2] (s-3/2) + [(√7)/2] = e cos [(√7)/2]x + √7 e sin [(√7)/2]x METODE PECAHAN PARSIAL : METODE PECAHAN PARSIAL Metode pecahan parsial mengubah suatu fungsi yang memiliki bentuk a(s)/b(s), dimana a(s) dan b(s) dua-duanya adalah polinomial dalam s, penjumlahan dari pecahan-pecahan lain sehinga peyebut dari setiap pecahan yang baru merupakan polinomial tingkat pertama atau polinomial kuadrat yang dipangkatkan. Metode tersebut hanya mengharuskan (1) tingkat dari a(s) lebih kecil dari tingkat b(s) (jika bukan demikian adanya, pertama-tama lakukan pembagian panjang, kemudian perhatikan suku sisanya) dan (2) b(s) difaktorkan menjadi hasil kali dari polinomial-polinomial kuadrat dan linear tertentu yang memiliki berbagai pangkat. Metode tersebut dilakukan sebagai berikut : Untuk setiap faktor dari b(s) dalam bentuk (s-a)m, berlakukanlah suatu penjumlahan dari m pecahan, dalam bentuk A + A + . . . + A s – a (s – a) (s – a) Untuk setiap faktor dari b(s) dalam bentuk (s2 +bs + c)p, berlakukanlah suatu penjumlahan dari p pecahan, dalam bentuk B s + C + B s + C + . . . + Bps + Cp s + bs + c ( s + bs + c) (s + bs + c) disini A , B , dan C ( i = 1, 2, . . . , m; j, k = 1, 2, . . . , p) adalah konstanta-konstanta yang masih harus ditentukan. Jadikan pecahan asli a(s)/b(s) menjadi sama dengan penjumlahan dari pecahan-pecahan yang baru saja dibuat. Hilangkan pangkat yang sama menjadi persamaan-persamaan yang terpisah, sehingga kita memperoleh suatu himpunan persamaan linear simultan dalam konstanta-konstanta Ai, Bj, dan Ck. Akhirnya, selesaikan persamaan-persamaan tersebut untuk memperoleh Ai, Bj, dan Ck. CONTOH SOAL + PENYELESAIAN : CONTOH SOAL + PENYELESAIAN Dengan menggunakan metode penyelesaian kuadrat tentukanlah : 1. ℒ s + 3 (s – 2)(s + 1) 2. ℒ 1 (s + 1)(s + 1) Penyelesaian : 1. untuk faktor-faktor linear s – 2 dan s + 1, kita gunakan masing-masing pecahan A/(s-2) dan B/(s+1). Kita jadikan : s + 3 ≡ A + B (s – 2)(s + 1) s – 2 s + 1 Dan setelah menghilangkan pecahan-pecahannya, memperoleh : s + 3 ≡ A (s + 1) + B(s – 2) s + 3 ≡ As + A + Bs – 2B s + 3 ≡ (A + B)s + (A- 2B) A + B = 1, A – 2B = 3 A = 1 – B, maka 1 – B – 2B = 3 -3B = 2 B = -2/3, sehingga A = 5/3 Jadi, s + 3 ≡ 5/3 - 2/3 (s – 2)(s + 1) s – 2 s + 1 Dengan demikian ℒ s + 3 = 5/3 ℒ { 1/(s-2)} – 2/3 ℒ {1/(s+1)} (s – 2)(s + 1) = (5/3) – (2/3) LANJUTAN... : LANJUTAN... 2. untuk faktor-faktor linear s + 1 dan s + 1, kita gunakan masing-masing pecahan A/(s+1) dan Bs+C/(s +1). Kita jadikan : 1 ≡ A + Bs + C (s + 1)(s + 1) s + 1 s + 1 Dengan menghilangkan pecaha-pecahanya, kita memperoleh : 1 ≡ A (s + 1) + (Bs+C)(s + 1) 1 ≡ As + A+Bs +Bs+Cs+C 1 ≡ (A+B)s + (B+C)s + A+C S (0) + s(0) + 1 ≡ (A+B)s + (B+C)s + A+C A+B ≡ 0, B+C ≡ 0, A+C ≡ 1, diperoleh A = ½, B = -1/2, C = ½, sehingga : 1 ≡ 1/2 + -1/2s + ½ (s + 1)(s + 1) s + 1 s + 1 ℒ 1 (s + 1)(s + 1) = 1/2 ℒ { 1/(s+1)} – 1/2 ℒ {s/(s +1)} + 1/2ℒ {1/(s+1)} = (1/2)e – (1/2)cos x + (1/2)sin x MEMANIPULASI PEMBILANG : MEMANIPULASI PEMBILANG Suatu faktor s – a dalam pembilang dapat dituliskan dalam suku-suku dari faktor s – b, dimana a dan b dua-duanya adalah konstanta, melalui identitas s – a = (s – b ) + ( b – a ). Konstanta multiplikatif a dalam pembilang dapat dituliskan secara eksplisit dalam suku-suku dari konstanta multiplikatif b melalui identitas a = (a/b)b. Kedua identitas tersebut menghasilkan transformasi laplace inversi yang dapat dikenali jika digabungkan dengan : Properti linearitas “jika transformasi laplace inversi dari dua fungasi F(s) dan G(s) ada, maka untuk konstanta c1 dan c2 apapun” berlaku : ℒ {c F(s)]+c G(s)] } = c ℒ { F(s) } + c ℒ { G(s) } CONTOH SOAL + PENYELESAIAN : CONTOH SOAL + PENYELESAIAN tentukanlah ℒ s + 1 s - 9 penyelesaian : ℒ s + 1 = ℒ {s/(s - 9)}+ℒ {1/(s - 9)} s - 9 = cosh 3x + ℒ {1/3[3/(s - 3 )} = cosh 3x + (1/3)sinh 3x LATIHAN SOAL : LATIHAN SOAL 1. Dengan menggunakan metode penyelesaian kuadrat, Tentukanlah ℒ s + 4 ( skor 30) s + 4s + 8 2. Dengan menggunakan metode pecahan parsial, Tentukanlah ℒ 1 (skor 40) (s + 1)(s + 4s + 8) 3. Dengan memanipulasi pembilang, Tentukanlah ℒ s (skor 30) (s – 2) + 9 TERIMA KASIH&SAMPAI JUMPA... : TERIMA KASIH&SAMPAI JUMPA...

Related presentations